51 ベイズ推論と予測誤差最小化メカニズム (20221017)

[カテゴリー:人はなぜ問うのか?]

フリストンやホーヴィは、生物の知覚は、ベイズ推論をもちいた「予測誤差最小化メカニズム」によって成立する、と主張します。

彼らによると、脳は、感覚刺激から対象の知覚をボトムアップによって作り上げるのではなく、脳内で対象のあり様を想定し、そこから、それを原因として生じる感覚刺激を予測し、その予測を実際の感覚刺激と比較して、誤差があれば、最初に想定した対象のあり様を修正し、もう一度、それを原因として生じる感覚刺激を予測し、それを実際の感覚刺激と比較する、という「予測誤差最小化」を繰り返して、対象の知覚をトップダウンで作り上げます。

これは、ポパーの反証主義という科学方法論に似ています。ポパーは、観察データから理論を構築するのではなく、理論を想定して、それを観察によってテストし、そのテストに反証されてたならば、理論を修正し、それをもう一度テストし、ということの繰り返しによって、科学理論を改良していくことを考えました。この過程で、ポパーは観察から理論をどう作るか問題としません。それはどのような仕方であってもよく、問題なのはそれを観察でテストすることであり、テストに合格する理論をつくることだと考えるのです。「予測誤差最小化メカニズム」というのは、このようなポパーの反証主義に似ていると思います。これもまた、ボトムアップで感覚刺激から対象の知覚をどう構成するかは問題ではなく、その対象知覚を、感覚刺激でテストし、誤差があれば、修正することによって対象の正しい知覚をえる、というアプローチです。

では、この予測誤差最小化メカニズムは、ベイズ推論とどう関係するのでしょうか。

ここで、あるタイプの事象Aはあるタイプの対象のある在り方であり、あるタイプの事象Xはその対象を原因として生じるあるタイプの感覚刺激だとします。ここに次のベイズの定理が成立します。

ベイズの定理:P(A|X) = P(X|A)P(A) /P(X) 

ベイズ推理は、このベイズの定理を次のように解釈します。

<P(A)は、あるタイプの感覚刺激Xの原因として考えられるあるタイプの対象のある在り方Aが成立する事前確率であって、主観確率です。それに対してP(X)は、客観的にあるタイプの感覚刺激Xの事例が成立する確率です。そして、感覚刺激Xが生じた時に、その原因と考えられる対象のある在り方Aが起きていたと考えられる確率(事後確率)を推論することができます。> 

 この解釈を予測誤差メカニズムの説明に対応させれば、次のようになるでしょう。

<対象のあるあり方Aを事前想定して、それを原因として因果関係によってあるタイプの感覚刺激Xが成立すると推理します。この感覚刺激と、実際に生じている感覚刺激を比較して、誤差があれば、その誤差に応じて、対象のあり方Aを修正したものを、事後想定します。>

ベイズ推論の場合、確率が事前確率から事後確率へと修正されるのに対して、知覚の場合には、対象のあり方について(あるいは対象が何であるかについて)の理解が修正されます。この違いは、次のような説明で乗り越えられます。例えば、最初は対象がリンゴである確率が高く、カエルである確率が低かったものが、ベイズ推論の繰り返しによって、次第にカエルである確率確率が高くなり、リンゴである確率が低くなり、カエルの知覚が正しい知覚とみなされるようになるのだと思います(リンゴとカエルの例は、『能動的推論』に登場する例です。)どのような知覚も100%確実ということはありえないので、知覚は常にこのような確率の度合いを持っており、当初の確率を修正される過程が、知覚が成立する過程なのだと考えることができます。

 次にこのようなベイズ推論と問答推論の関係を考察したいと思います。

49 ベイズの定理について (20221011)

[カテゴリー:人はなぜ問うのか?]

フリストンの「能動推論」とは、生物の知覚と行動(行為)の両方を同じ原理で統一的に説明するものです。その原理は「自由エネルギー原理」と言われています。これの厳密な説明にはベイズ統計学のテクニカルな説明が必要ですが、それによると生物は予測機械であり、その予測は、ベイズ推論によって説明できる、ということです。ただ、そのテクニカルな説明は少し難しいのです。

そこで、もう少しわかりやすく説明してくれている(同じく最近翻訳の出た)ヤコブ・ホーヴィ著『予測する心』(原著2013)(佐藤亮司監訳、太田陽、次田瞬、林禅之、三品由紀子訳、勁草書房,2021)をもとに確認したいと思います。ホーヴィは哲学者ですが、神経科学者であるフリストンたちの影響を受けて、「脳は洗練された仮説テストメカニズムであり、外界から受け取る感覚入力の予測誤差の最小化に常に取り組んでいる」(同訳16)と考えます。フリストンにならってホーヴィもまた、このメカニズムによって知覚、行為、その他を説明します。

このメカニズムを説明するために、まずベイズ推論を説明したいと思います。ベイズ推論というのは、ベイズの定理についての解釈の一つだといえるものなので、まずベイズの定理を説明します。

<ベイズの定理とその証明>

定義1:P(x)は、与えられた条件なしに事象xが生じる確率を表す。「周辺確率(marginal probability)」や「事前確率(prior probability)」と呼ばれている。

定義2:P(x,y)は、事象xとyの両方が生じる確率を表す。

定義3:P(x|y)は、yが真であるとき事象xが発生する確率を表す。これは「条件付き確率(conditional probability)」と呼ばれている。yが与えられた時の、xの「事後確率(posterior probability)」ともいう。(P(y|x)もまた条件付確率であり、xが真である場合にBが発生する確率である。またP(y|x)=L(x|y)であることから、固定されたyに対するxの尤度とも解釈できる)

ベイズの定理:P(x|y)=P(y|x)P(x)/P(y

ベイズの定理の証明:(最初にupしたときに、以下の(1)(2)(4)の式が間違っていたので訂正しました。20221128訂正)

(1) P(x,y)=P(x|y)P(y)   (定義1,2,3,より)

(P(x|y)は、yが起きた時にxが起きる確率です。これを仮に30%とし、yが起きる確率P(y)を仮に40%とすると、xとyが同時に起きる確率は、P(y)=40%の中のさらにP(x|y)=30%であり、12%となります。)

(2)P(y,x)=P(y|x)P(x)   ((1)のxにyを、yにx代入)

(3)P(x,y)=P(y,x)      (定義2より)

(4) P(x|y)P(y)=P(y|x)P(x) ((1)(2)(3)より)

(5) P(x|y)=P(y|x)P(x)/P(y)  ((4)より)

次にベイズ推論を説明したいと思います。